Леонид Георгиевич родился 15 марта 1935 года в Москве в семье армянского повара и русской портнихи. Единокровный брат актёра и режиссера Рачьи Капланяна.
С детства любил стихи Пушкина, сказки Андерсена и кукольный театр. Ещё будучи школьником, стал заниматься боксом. После школы поступил в институт физкультуры, но вскоре ушёл из него.
В 1955 году поступил в Цирковое училище на отделение клоунады. Его режиссёром-педагогом стал Юрий Павлович Белов. Это был единственный режиссёр, с которым работал Енгибарян на протяжении всей своей жизни. Ещё будучи студентом, Енгибарян стал выступать (с 1956 года) на эстраде в качестве мима.
В 1959 году он окончил училище и 25 июля 1959 года состоялся дебют на манеже Новосибирского цирка, в том же году начал работал в армянском цирковом коллективе.
1960 год — гастролировал в Харькове, Тбилиси, Воронеже, Минске и других городах. 1961 год — гастроли в городах Одесса, Баку, Москва. Первые гастроли в Москве, в цирке на Цветном бульваре. Оглушительный успех. Первые заграничные гастроли — в Польше — Краков, Варшава. Тоже успех.
1962 год — гастроли в Ленинграде, где Енгибаряну вручили медаль за лучший номер года. В Ленинграде он познакомился с Марселем Марсо и Роланом Быковым. Быков стал его близким другом на всю жизнь.
1963 год — снялся в главной роли (клоун Лёня) в фильме «Путь на арену» (студия «Арменфильм», режиссёр Г. Малян и Л. Исаакян). 1964 год — снялся в роли немого пастуха в фильме С. И. Параджанова «Тени забытых предков» (студия им. Довженко, Киев).
1964 год — в Праге, на Международном конкурсе клоунов Енгибарян занял первое место. Тогда же в чешских газетах были впервые опубликованы его новеллы. 1965 год — вторые гастроли в Москве. В Праге родилась дочь Барбара. Её мать — чешская журналистка и художница Ярмила Галамкова. 1966 год — на экраны выходит документальный фильм «Леонид Енгибаров, знакомьтесь!» (режиссёр В. Лисакович). За 1960—1969 годы Енгибарян объездил с гастролями весь СССР. Особенно его любили в Одессе, Киеве, Ереване, Ленинграде. Март-июль 1970-го — третьи московские гастроли Енгибарова. В этом же году в Ереване был снят фильм «2-Леонид-2».
1971 год — вместе с Беловым создают спектакль «Звёздный дождь» и показывают его в Ереване и в Москве. Енгибарян вынужденно уходит из цирка и создаёт свой театр (режиссёр — Юрий Белов). Они репетируют в Марьиной Роще. За пять месяцев был создан спектакль «Причуды клоуна». В Ереване выходит первая книга новелл «Первый раунд». Также в этом году Енгибаров снялся в фильме Т. Е. Абуладзе «Ожерелье для моей любимой» (в роли клоуна Сурико). С октября 1971 года по июнь 1972 года Енгибарян гастролирует со своим театром по всей стране. За 240 дней было сыграно 210 спектаклей. В этом же году снялся в небольшом эпизоде в фильме В. М. Шукшина «Печки-лавочки».
В июле 1972 года Енгибарян формально находился в Москве в отпуске, репетировал новый спектакль. 25 июля умер от обширного инфаркта. 28 июля похоронен на Ваганьковском кладбище в Москве.
Каждый вечер в огромном зале я собираю тысячи аплодисментов, тысячи всплесков человеческих рук, и охапками приношу их домой.
Ты сидишь на тахте с книжкой в руках, укрывшись пледом. Я включаю свет, чтобы ты могла разглядеть то, что я принес, и закрываю окно, чтобы они не разлетелись. Аплодисменты заполняют всю комнату, плещутся у твоих ног, фонтанчиками взлетают к потолку, а ты радуешься, как маленькая. Я сажусь в кресло и жду, когда все утихнет и успокоится. Ты продолжаешь играть, и мне становится грустно, потому что всякая игра рано или поздно надоедает.
Я встаю и распахиваю настежь окна, аплодисменты вырываются на улицу и разлетаются… Минута, другая, вот и стих последний хлопок.
Я поворачиваюсь к тебе, хочу, чтоб ты меня разглядела, я устал, я голоден, и у меня болят плечи. Но ты ничего не видишь и не слышишь, тебя оглушил огромный зал и закрыл меня.
Завтра я снова пойду собирать для тебя то, без чего ты уже не можешь жить.
